Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=﹣1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，则下列结论：

①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0

其中正确的命题有 ．（请填入正确的序号）

Answer 1

①④⑤

【解析】

试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解析】
根据题意，得到该抛物线的图象（如图所示）

①∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣=﹣1＜0，a＞0

∴b＞0；

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0；

故本选项正确；

②根据图示，知

当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；故本选项错误；

③∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣=﹣1，

∴b=2a；

又∵a＞0，

∴b﹣a=a＞0，

∴b＞a；故本选项错误；

④由图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0；

又∵b=2a，

∴3a+c＞0；故本选项正确；

⑤根据图象知，当x=﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0；故本选项正确；

综上所述，其中正确的命题有①④⑤；

故答案是：①④⑤．