Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+

1

4

k²+1=0
（1）k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂（x₁＜x₂）满足x₁+|x₂|=3，求k的值和方程的两根．

Answer 1

分析：（1）由于方程有两个不相等的实数根，所以方程的判别式是正数，一次即可确定k的取值范围；
（2）由于方程的两个实数根x₁、x₂（x₁＜x₂）满足x₁+|x₂|=3，通过分类讨论去掉绝对值的符号，然后利用根与系数的关系即可求出k的值和方程的两个根．

解答：解：（1）在已知一元二次方程中，
a=1，b=-（k+2），c=（

1

4

k²+1），
又由△=b²-4ac
=[-（k+2）]²-4（

1

4

k²+1）
=k²+4k+4-k²-4（3分）=4k＞0，
得k＞0，
即k＞0时方程有两个不相等的实数根；
〖无（1分）、（3分）所在行之中间步骤，即跳过此步不扣分，余同〗

（2）法一：由x1，2=

-b± b2-4ac

2a

=

k+2± 4k

2

，（6分）
∵x₁＜x₂，k＞0，（7分）
∴x2=

-b+ b2-4ac

2a

=

k+2+ 4k

2

＞0（8分）
∴|x₂|=x₂．（9分）
由x₁+|x₂|=3，得x₁+x₂=3，
由根与系数关得k+2=3．
即k=1（10分）
此时，原方程化为x²-3x+

5

4

=0，（11分）
解此方程得，x₁=

1

2

，x₂=

5

2

，（12分）
法二：由x₁x₂=

1

4

k²+1＞0，（6分）
又∵k＞0，
∴x₁+x₂=k+2＞0，（7分）
∴x₁＞0，x₂＞0；（8分）
∴|x₂|=x₂．（9分）
下同法一．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．