Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．

Answer 1

解：（1）根据题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90?．
x=-=-=2，y===-4，
∴顶点M的坐标为（2，-4），
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a²-4a），
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4，
解得a₁=0（舍去），a₂=，
∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN． 即 4：2=2：FN．∴FN=1．
∴点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则，
解得，∴直线的解析式为y=x-5，
联立得x²-x+5=0，解得x₁=2，x₂=，
∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
另一个交点K的坐标为（，-），
∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90?．坐标为（，-）．
分析：（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax²+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出抛物线解析式；
（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90?．设（a，a²-4a），过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；
（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90?．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是通过已知三点求抛物线解析式，根据垂直关系证明三角形相似，得出线段长及点的坐标，利用直线解析式及抛物线解析式求满足条件的点的坐标．