Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线a：y=2x﹣6，和直线b：y=﹣ x+4相交于点H，分别与x、y轴交于点A、B、C、D，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线，分别与直线a、b交于点E、F．

（1）求点H的坐标；
（2）判断直线a、b的位置关系，并说明理由；
（3）设点P的横坐标为m，当m为何值时，以D、E、F、O为顶点的四边形是
平行四边形，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：联立两直线解析式可得 ，解得 ，

∴H（4，2）；

（2）解：a⊥b，理由如下：

在y=2x﹣6中，令x=0，可得y=﹣6，在y=﹣ x+4中，令x=0可得y=4，

∴B（0，﹣6），D（0，4），

∴BD=10，DH= =2 ，BH= =4 ，

∴DH2+DH2=20+80=100=BD2，

∴△BDH是以BD为斜边的直角三角形，

∴∠BHD=90°，即a⊥b；

（3）解：∵P点横坐标为m，

∴E（m，2m﹣6），F（m，﹣ m+4），

∴EF=|2m﹣6﹣（﹣ m+4）|，

当以D、E、F、O为顶点的四边形是平行四边形时，则EF=OD=4，

∴|2m﹣6﹣（﹣ m+4）|=4，解得m= 或m= ，

∴当m的值为 或 时，以D、E、F、O为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】（1）由两直线相交于点H，联立两直线解析式，求出方程组的解，得到点H的坐标；（2）根据题意求出B、D的坐标，根据两点间的距离公式求出DH、BH、BD的值，根据勾股定理的逆定理得到直角三角形，判断出直线a、b的位置是a⊥b；（3）根据P点横坐标为m，得到E、F点的坐标，求出EF的值，根据平行四边形的判定方法，得到m的值.