Question

（2013•杭州一模）点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=-

4

3

．其中正确的是（　　）

A．②④

B．②③

C．①③④

D．①②④

Answer 1

分析：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．

解答：解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；
根据顶点坐标公式，

4ac-b2

4a

=3，
令y=0，则ax²+bx+c=0，
CD²=（-

b

a

）²-4×

c

a

=

b2-4ac

a2

，
根据顶点坐标公式，

4ac-b2

4a

=3，
∴

b2-4ac

a

=-12，
∴CD²=

1

a

×（-12）=

12

-a

，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴

12

-a

=3²=9，
解得a=-

4

3

，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选A．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．