【题目】如图1所示,直线y=x+c与x轴交于A(﹣4,0),与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,C.
(1)求抛物线的解析式 ;
(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;
(3)如图2所示,M是线段OA的上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N
①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为________;
②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)CE+OE的最小值为5;(3)①或4;②存在,当PF=FM时,点D在MN垂直平分线上,则D(),当PM=PF时,由菱形性质点D坐标为(﹣1+ , )(﹣1﹣ ,﹣ ),当MP=MF时,M、D关于直线y=﹣x+4对称,点D坐标为(﹣4,3)
【解析】
(1)把已知点坐标代入解析式;
(2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′,由两点之间线段最短,最小值可得;
(3)①由已知,注意相似三角形的分类讨论.
②设出M坐标,求点P坐标.注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的.本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况.
(1)将A(﹣4,0)代入y=x+c
∴c=4
将A(﹣4,0)和c=4代入y=﹣x2+bx+c
∴b=﹣3
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4
(2)作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′,连OC′,交直线l于点E.连CE,此时CE+OE的值最小.
∵抛物线对称轴位置线x=﹣
∴CC′=3
由勾股定理OC′=5
∴CE+OE的最小值为5
(3)①当△CNP∽△AMP时,
∠CNP=90°,则NC关于抛物线对称轴对称
∴NC=NP=3∴△CPN的面积为
当△CNP∽△MAP时
由已知△NCP为等腰直角三角形,∠NCP=90°
过点C作CE⊥MN于点E,设点M坐标为(a,0)
∴EP=EC=﹣a,
则N为(a,﹣a2﹣3a+4),MP=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a)=﹣a2﹣a+4
∴P(a,﹣a2﹣a+4)
代入y=x+4
解得a=﹣2
∴△CPN的面积为4
②存在
设M坐标为(a,0)
则N为(a,﹣a2﹣3a+4)
则P点坐标为(a,)
把点P坐标代入y=﹣x+4
解得a1=﹣4(舍去),a=﹣1
当PF=FM时,点D在MN垂直平分线上,则D( )
当PM=PF时,由菱形性质点D坐标为(﹣1+ , )(﹣1﹣ ,﹣ )
当MP=MF时,M、D关于直线y=﹣x+4对称,点D坐标为(﹣4,3)
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【题目】如图,点A(0,4)、B(2,0),点C、D分别是OA、AB的中点,在射线CD上有一动点P,若△ABP是直角三角形,则点P的坐标为_____.
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【题目】如图,正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D、G分别在边AB、AC上,已知BC=6,△ABC的面积为9,则正方形DEFG的面积为_____.
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【题目】某校课外小组为了解同学们对学校“阳光跑操”活动的喜欢程度,抽取部分学生进行调查.被调查的每个学生按A(非常喜欢)、B(比较喜欢)、C(一般)、D(不喜欢)四个等级对活动评价.图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图.经确认扇形统计图是正确的,而条形统计图尚有一处错误且并不完整.请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)此次调查的学生人数为___;
(2)条形统计图中存在错误的是___(填A. B.C中的一个),并在图中加以改正;
(3)在图2中补画条形统计图中不完整的部分;
(4)如果该校有600名学生,那么对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人?
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【题目】如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是_____.
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【题目】近日,全省各地市的2019年初中毕业升学体育考试工作正依照某省教育厅的具体要求在有条不紊的进行当中,某中学在正式考试前,为了让同学们在中招体育考试中获得理想成绩,同时为了了解学生的当前水平,按批次进行了模拟考试,并随机抽取若干名学生问卷调查,现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表:
组别 | 成绩范围x(分) | 频数(人数) |
A | 60<x≤70 | 54 |
B | 50<x≤60 | m |
C | 40<x≤50 | n |
D | 30<x≤40 | 6 |
(1)这次调查的总人数有 人,表中的m= ,n= ;
(2)扇形统计图中B组对应的圆心角为 °;
(3)请补全频数分布直方图;
(4)若该校九年级共有学生2700名,且都参加了正式的初中毕业升学体育考试,小华也参加了这次考试并得了67分,若规定60分以上为优秀,体育老师想要在获得优秀的学生中随机抽出1名,作为学生代表向学弟学妹们传授经验,求抽到小华的概率.
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac>0;④当y<0时,x<﹣1或x>3,其中正确的个数是
A.1B.2C.3D.4
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【题目】李明驾车以100千米/小时的速度从甲地匀速开往乙地,行驶到服务区休息了一段时间后以另一速度继续匀速行驶,直至到达乙地.李明与乙地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示.
(1)求a的值;
(2)求李明从服务区到乙地y与x之间的函数关系式;
(3)求x=5时李明驾车行驶的路程.
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