【题目】(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB,过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两直线交于点D.
(1)求b、c的值;
(2)当t为何值时,点D落在抛物线上;
(3)是否存在t,使得以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似?若存在,求此时t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)b=,c=4;(2)t=3;(3)t=或.
【解析】
试题分析:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,求出b,c的值即可;
(2)先求得M的坐标,进而求出点D的坐标,然后将D(t+2,4)代入(1)中的抛物线的解析式,即可求出t的值;
(3)由于t=8时,点B与点D重合,△ABD不存在,所以分0<t<8和t>8两种情况进行讨论,在每一种情况下,当以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似时,又分两种情况:△BEP∽△ADB与△PEB∽△ADB,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求解即可.
试题解析:(1)∵抛物线过点A(0,4)和C(8,0),
∴,解得:,∴b=,c=4;
(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO,∴△AOP∽△PEB且相似比为=2,∵AO=4,∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,又∵DE=OA=4,∴点D的坐标为(t+2,4),∴点D落在抛物线上时,有,解得t=3或t=﹣2,∵t>0,∴t=3.故当t为3时,点D落在抛物线上;
(3)存在t,能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似,理由如下:
①当0<t<8时,如图1.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,即t:(t+2)=4:(4﹣t),整理得:,∴t无解;
若△POA∽△BDA,同理,解得(负值舍去);
②当t>8时,如图2.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,即t:(t+2)=4:(t﹣4),解得t=(负值舍去);
若△POA∽△BDA,同理,解得t无解.
综上可知,当t=或时,以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似.
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【题目】如图,二次函数的图像与轴交于点A、B,与轴交于点C.
(1) ; ;
(2)点P为该函数在第一象限内的图像上的一点,过点P作于点Q,连接PC,
①求线段PQ的最大值;
②若以P、C、Q为顶点的三角形与相似,求点P的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB+BC=BE,则∠B的度数是( )
A.45° B.60° C.50° D.55°
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【题目】分别画出下列各多边形的对角线,并观察图形完成下列问题:
(1)试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子: .
(2)从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线,十五边形共有 条对角线:
(3)如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等,求这个多边形的边数.
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【题目】A,B两地相距20 km,甲、乙两人都从A地去B地,如图,l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(km)与时间t(h)之间的关系,下列说法:①乙晚出发1 h;②乙出发3 h后追上甲;③甲的速度是4 km/h;④乙先到达B地.其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】为调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间,在该班随机抽查了8名学生,他们每天完成作业所需时间(单位:分)分别为:60,55,75,55,55,43,65,40.
(1)求这组数据的众数、中位数;
(2)求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间;如果按照学校要求,学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟,问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求?
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,∠ADE=∠CDF.
(1)求证:AE=CF;
(2)连接DB交EF于点O,延长OB至G,使OG=OD,连接EG,FG,判断四边形DEGF是否是菱形,并说明理由.
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【题目】2019年“十·一”黄金周期间,安仁古镇共接待游客约225000人,其中数“225000”用科学记数法表示为( )
A.225×103B.22.5×104C.2.25×105D.0.225×106
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