Question

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁，S₂，S₃之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，为使S₁，S₂，S₃之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

Answer 1

分析：利用直角△ABC的边长就可以表示出S₁、S₂、S₃的大小．三角形的边满足勾股定理．

解答：解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c²=a²+b²
（1）S₁=S₂+S₃；

（2）S₁=S₂+S₃．证明如下：
显然，S₁=

3

4

c2，S₂=

3

4

a2，S₃=

3

4

b2
∴S₂+S₃=

3

4

(a2+b2)=

3

4

c2=S_1，
即S₁=S₂+S₃．

（3）当所作的三个三角形相似时，S₁=S₂+S₃．证明如下：
∵所作三个三角形相似
∴

S2

S1

=

a2

c2

，

S3

S1

=

b2

c2

∴

S2+S3

S1

=

a2+b2

c2

=1
∴S₁=S₂+S₃；

（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则S₁=S₂+S₃．

点评：本题是对勾股定理进行的证明，难易程度适中．