【题目】如图①,在平面直角坐标系中,等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(5,0),(9,0),点D是x轴正半轴上一个动点,连接CD,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE.
(Ⅰ)直接写出点C的坐标,并判断△CDE的形状,说明理由;
(Ⅱ)如图②,当点D在线段AB上运动时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)当△BDE是直角三角形时,求点D的坐标.(直接写出结果即可)
【答案】(Ⅰ)C,△CDE是等边三角形;(Ⅱ)存在;;D(7,0);(Ⅲ)D(1,0)或(13,0).
【解析】分析:
(1)如图1,过点C作CH⊥x轴于点H,由△ABC是等边三角形易得AH=AB=2,结合AC=AB=4、OA=5,可得CH=,OH=7,由此即可得到点C的坐标;由旋转的性质可知CE=CD,结合旋转角∠DCE=60°可知△CDE是等边三角形;
(2)如图2,由(1)可知△CDE是等边三角形,由此可得DE=CD,由△CDE是由△CAD绕点C旋转得到的,由此可得BE=AD,从而可得△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+AD+CD=AB+CD=4+CD,由此可知,当CD⊥AB时,CD最小,此时△BDE的周长最小,由(1)可知,此时CD=,OD=7,即当点D的坐标为(7,0)时,△BDE的周长最小,最小值为;
(3)如图3,由∠CBE=∠CAD=120°可得∠ABC=60°,由此可得∠DBE=60°≠90°,结合△BDE是直角三角形,可知:存在①∠BED=90°;②∠BDE=90°(如图3,∠BD'E'=90°)两种情况,分两种情况画出符合要求的图形,并结合已知条件进行分析计算即可.
详解:
(Ⅰ)如图1,过点C作CH⊥AB于H,
∵△ABC是等边三角形,CH⊥AB于点H,
∴∠AHC=90°,AH=AB=(9﹣5)=2,
∴OH=OA+AH=7,
∵AC=AB=4,
∴在Rt△ACH中,CH=,
∴ C;
∵△CBE是由△CAD绕点C逆时针旋转60°得到的,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形;
(Ⅱ)存在,理由如下:如图2,由(Ⅰ)知,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
由旋转知,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD,
由垂线段最短可知,CD⊥AB于D时,△BDE的周长最小,此时,由(1)可知CD=2,OD=7,
∴△BDE的周长最小值为4+2,点D(7,0);
(Ⅲ)如图3,
∵由旋转知,∠CBE=∠CAD=120°,
∵∠ABC=60°,
∴∠DBE=60°≠90°,
∵△BDE是直角三角形,
∴存在∠BED=90°或∠BDE=90°(如图3,∠BD'E'=90°)两种情况,
①当∠BED=90°时,
∵△CDE是等边三角形,
∴∠CED=60°,
∴∠BEC=30°,
∵∠CBE=∠CAD=120°,
∴∠BCE=30°,
∴BE=BC=AB=4,
在Rt△BDE中,∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°,
∴BD=2BE=8,
∵OB=9,
∴OD=OB﹣BD=1,
∴D(1,0),
②当∠BD'E'=90°时,
∵△CD'E'是等边三角形,
∴∠CD'E'=60°,
∴∠BD'C=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BCD'=30°=∠BD'E,
∴BD'=BC=6,
∵OB=9,
∴OD'=OB+BD'=13,
∴D'(13,0),
即:存在点D使△BDE是直角三角形,此时点D的坐标分别为:(1,0)或(13,0).
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F,连接BE.
(1)求证:四边形BCFD是平行四边形.
(2)当AB=BC时,若BD=2,BE=3,求AC的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线与轴、轴分别交于、两点,点是轴上一动点,要使点关于直线的对称点刚好落在轴上,则此时点的坐标是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+4(k≠0)与x轴,y轴,交于A、B两点,点C是BO的中点且tan∠ABO=
(1)求直线AC的解析式;
(2)若点M是直线AC的一点,当时,求点M的坐标.
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【题目】在菱形ABCD中,AC是对角线,CD=CE,连接DE,点M是线段DE的中点.
(1)如图1,连接CM,若AC=16,CD=10,求DE的长
(2)如图2,点F在菱形的外部,DF=DM,且∠CDA=∠FDE,连接FM交AD于点G,FM的延长线交AC于点N,求证:CN=AG.
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【题目】已知ab<0,,且|c|>|b|>|a|,数轴上a、b、c对应的点是A、B、C.
(1) 若|a|=-a时,请在数轴上标出A、B、C的大致位置;
(2) 在(1)的条件下,化简:|a-b|-|b+c|+|c+a|.
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【题目】对任意一个三位数,如果满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为.例如,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以.
(1)计算:和;
(2)若是“相异数”,证明:等于的各数位上的数字之和.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF。
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;
(2)若DE=3,CD=4,∠EDC=90°,当四边形DEBF是菱形时,AE的长为多少?
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【题目】食品安全关系到我们每个人的身心健康,为了调查市场上某品牌饮料的色素含量是否符合国家标准,工作人员在超市里随机抽取了该品牌饮料进行检验,图①和图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,其中A、B、C、D分别代表色素含量为0.05%以下、0.05%~0.1%、0.1%~0.15%、0.15%以上,图①的条形统计图表示的是抽查的饮料中各种色素含量分布的瓶数,图②的扇形统计图表示的是抽查的饮料中各种色素含量的瓶数占抽查总数的百分比.
请根据以上信息解答以下问题:
(1)本次调查一共抽查了多少瓶饮料?
(2)请将图①条形统计图中色素含量为B的部分补充完整;
(3)图②扇形统计图中色素含量为D的部分的扇形圆心角是多少度?
(4)若色素含量超过0.15%即为不合格产品,某超市这种品牌的饮料共有5000瓶,估计其中不合格的产品约有多少瓶?
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