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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(5,0),(9,0),点Dx轴正半轴上一个动点,连接CD,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE.

(Ⅰ)直接写出点C的坐标,并判断△CDE的形状,说明理由;

(Ⅱ)如图②,当点D在线段AB上运动时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标;若不存在,说明理由;

(Ⅲ)当△BDE是直角三角形时,求点D的坐标.(直接写出结果即可)

【答案】(Ⅰ)C,△CDE是等边三角形;(Ⅱ)存在;D(7,0);(Ⅲ)D(1,0)或(13,0).

【解析】分析:

(1)如图1,过点CCH⊥x轴于点H,由△ABC是等边三角形易得AH=AB=2,结合AC=AB=4、OA=5,可得CH=,OH=7,由此即可得到点C的坐标;由旋转的性质可知CE=CD,结合旋转角∠DCE=60°可知△CDE是等边三角形;

(2)如图2,由(1)可知△CDE是等边三角形,由此可得DE=CD,由△CDE是由△CAD绕点C旋转得到的,由此可得BE=AD,从而可得△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+AD+CD=AB+CD=4+CD,由此可知,当CD⊥AB时,CD最小,此时△BDE的周长最小,由(1)可知,此时CD=,OD=7,即当点D的坐标为(7,0)时,△BDE的周长最小,最小值为

(3)如图3,由∠CBE=∠CAD=120°可得∠ABC=60°,由此可得∠DBE=60°≠90°,结合△BDE是直角三角形,可知存在①∠BED=90°;②∠BDE=90°(如图3,∠BD'E'=90°)两种情况分两种情况画出符合要求的图形,并结合已知条件进行分析计算即可.

详解:

(Ⅰ)如图1,过点CCH⊥ABH,

∵△ABC是等边三角形,CH⊥AB于点H,

∴∠AHC=90°AH=AB=(9﹣5)=2,

∴OH=OA+AH=7,

∵AC=AB=4,

Rt△ACH中,CH=

∴ C

∵△CBE是由△CAD绕点C逆时针旋转60°得到的,

∴∠DCE=60°,DC=EC,

∴△CDE是等边三角形;

(Ⅱ)存在,理由如下如图2,由()知,△CDE是等边三角形,

∴DE=CD,

由旋转知,BE=AD,

∴CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD,

由垂线段最短可知,CD⊥ABD时,△BDE的周长最小,此时,由(1)可知CD=2,OD=7,

∴△BDE的周长最小值为4+2,点D(7,0);

(Ⅲ)如图3,

由旋转知,∠CBE=∠CAD=120°,

∵∠ABC=60°,

∴∠DBE=60°≠90°,

∵△BDE是直角三角形,

存在∠BED=90°∠BDE=90°(如图3,∠BD'E'=90°)两种情况

∠BED=90°时,

∵△CDE是等边三角形,

∴∠CED=60°,

∴∠BEC=30°,

∵∠CBE=∠CAD=120°,

∴∠BCE=30°,

∴BE=BC=AB=4,

Rt△BDE中,∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°,

∴BD=2BE=8,

∵OB=9,

∴OD=OB﹣BD=1,

∴D(1,0),

∠BD'E'=90°时,

∵△CD'E'是等边三角形,

∴∠CD'E'=60°,

∴∠BD'C=30°,

∵∠ABC=60°,

∴∠BCD'=30°=∠BD'E,

∴BD'=BC=6,

∵OB=9,

∴OD'=OB+BD'=13,

∴D'(13,0),

即:存在点D使△BDE是直角三角形,此时点D的坐标分别为(1,0)或(13,0).

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