分析 (1)先求出点A,B坐标,再用待定系数法求出直线AD解析式;
(2)先建立S△ADF=-$\frac{3}{4}$(m+$\frac{2}{3}$)2+$\frac{25}{3}$,进而求出F点的坐标,再确定出点M的位置,进而求出点A1,A2坐标,即可确定出A2F的解析式为y=-$\frac{107}{16}$x-$\frac{9}{8}$①,和直线BD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1②,联立方程组即可确定出结论;
(3)分四种情况讨论计算,利用锐角三角函数和勾股定理表示出线段,用相似三角形的性质即可求出PC的值.
解答 解:(1)∵抛物线y=-$\frac{3}{8}$x2-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于A和B两点,
∴0=-$\frac{3}{8}$x2-$\frac{3}{4}$x+3,
∴x=2或x=-4,
∴A(-4,0),B(2,0),
∵D(0,-1),
∴直线AD解析式为y=-$\frac{1}{4}$x-1;
(2)如图1,
过点F作FH⊥x轴,交AD于H,
设F(m,-$\frac{3}{8}$m2-$\frac{3}{4}$m+3),H(m,-$\frac{1}{4}$m-1),
∴FH=-$\frac{3}{8}$m2-$\frac{3}{4}$m+3-(-$\frac{1}{4}$m-1)=-$\frac{3}{8}$m2-$\frac{1}{2}$m+4,
∴S△ADF=S△AFH+S△DFH=$\frac{1}{2}$FH×|yD-yA|=2FH=2(-$\frac{3}{8}$m2-$\frac{1}{2}$m+4)=-$\frac{3}{4}$m2-m+8=-$\frac{3}{4}$(m+$\frac{2}{3}$)2+$\frac{25}{3}$,
当m=-$\frac{2}{3}$时,S△ADF最大,
∴F(-$\frac{2}{3}$,$\frac{10}{3}$)
如图2,
作点A关于直线BD的对称点A1,把A1沿平行直线BD方向平移到A2,且A1A2=$\sqrt{5}$,
连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移$\sqrt{5}$得点M,此时四边形AMNF的周长最小.
∵OB=2,OD=1,
∴tan∠OBD=$\frac{1}{2}$,
∵AB=6,
∴AK=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
∴AA1=2AK=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
在Rt△ABK中,AH=$\frac{12}{5}$,A1H=$\frac{24}{5}$,
∴OH=OA-AH=$\frac{8}{5}$,
∴A1(-$\frac{8}{5}$,-$\frac{24}{5}$),
过A2作A2P⊥A2H,
∴∠A1A2P=∠ABK,
∵A1A2=$\sqrt{5}$,
∴A2P=2,A1P=1,
∴A2($\frac{2}{5}$,-$\frac{19}{5}$)
∵F(-$\frac{2}{3}$,$\frac{10}{3}$)
∴A2F的解析式为y=-$\frac{107}{16}$x-$\frac{9}{8}$①,
∵B(2,0),D(0,-1),
∴直线BD解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1②,
联立①②得,x=-$\frac{2}{115}$,
∴N点的横坐标为:-$\frac{2}{115}$.
(3)∵C(0,3),B(2,0),D(0,-1)
∴CD=4,BC=$\sqrt{13}$,OB=2,
BC边上的高为DH,
根据等面积法得,$\frac{1}{2}$BC×DH=$\frac{1}{2}$CD×OB,
∴DH=$\frac{CD×OB}{BC}=\frac{4×2}{\sqrt{13}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$,
∵A(-4,0),C(0,3),
∴OA=4,OC=3,
∴tan∠ACD=$\frac{OA}{OC}=\frac{4}{3}$,
①当PC=PQ时,简图如图1,
过点P作PG⊥CD,过点D作DH⊥PQ,
∵tan∠ACD=$\frac{4}{3}$
∴设CG=3a,则QG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a,
∴DQ=CD-CQ=4-6a
∵△PGQ∽△DHQ,
∴$\frac{PG}{DH}=\frac{PQ}{DQ}$,
∴$\frac{4a}{\frac{8\sqrt{13}}{13}}=\frac{5a}{4-6a}$,
∴a=$\frac{2}{3}-\frac{5\sqrt{13}}{39}$,
∴PC=5a=$\frac{10}{3}-\frac{25\sqrt{13}}{39}$;
②当PC=CQ时,简图如图2,
过点P作PG⊥CD,
∵tan∠ACD=$\frac{4}{3}$
∴设CG=3a,则PG=4a,
∴CQ=PC=5a,
∴QG=CQ-CG=2a,
∴PQ=2$\sqrt{5}$a,
∴DQ=CD-CQ=4-5a
∵△PGQ∽△DHQ,
同①的方法得出,PC=4-$\frac{4\sqrt{65}}{13}$,
③当QC=PQ时,简图如图1
过点Q作QG⊥PC,过点C作CN⊥PQ,
设CG=3a,则QG=4a,PQ=CQ=5a,
∴PG=3a,
∴PC=6a
∴DQ=CD-CQ=4-5a,
利用等面积法得,CN×PQ=PC×QG,
∴CN=$\frac{24}{5}$a,
∵△CQN∽△DQH
同①的方法得出PC=$\frac{24}{5}-\frac{10\sqrt{13}}{13}$
④当PC=CQ时,简图如图4,
过点P作PG⊥CD,过H作HD⊥PQ,
设CG=3a,则PG=4a,CQ=PC=5a,
∴QD=4+5a,PQ=4$\sqrt{5}$,
∵△QPG∽△QDH,
同①方法得出.CP=$\frac{8\sqrt{65}}{13}-4$
综上所述,PC的值为:$\frac{10}{3}-\frac{25\sqrt{13}}{39}$;4-$\frac{4\sqrt{65}}{13}$,$\frac{24}{5}-\frac{10\sqrt{13}}{13}$,=$\frac{8\sqrt{65}}{13}-4$.
点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,面积公式及计算方法,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,分情况讨论计算是解本题的关键,构造出相似三角形是解本题的难点.计算量较大.
科目:初中数学 来源:2016-2017学年江苏省苏州太仓市第二学期初一期中模拟数学试卷(解析版) 题型:解答题
因式分【解析】
(1) x2﹣36;
(2) xy2﹣x;
(3) ab4﹣4ab3+4ab2;
(4) (m+1)(m﹣9)+8m.
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科目:初中数学 来源:2016-2017学年江苏省苏州太仓市第二学期初一期中模拟数学试卷(解析版) 题型:选择题
把多项式5x3﹣5x进行因式分解正确的结果是( )
A.5x3﹣5x=5(x3﹣x)
B.5x3﹣5x=5x(x2﹣1)
C.5x3﹣5x=5x(x+1)(x﹣1)
D.5x3﹣5x=5x2(1+)(x﹣1)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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