Question

已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．
（1）点D、E分别在线段BA、BC上；
①若∠B=60°（如图1），且AD=BE，BD=CE，则∠APD的度数为

 

；
②若∠B=90°（如图2），且AD=BC，BD=CE，求∠APD的度数；
（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B=90°，AD=BC，∠APD=45°，求证：BD=CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题,几何综合题

分析：（1）连结AC，由条件可以得出△ABC为等边三角形，再由等边三角形的性质就可以得出△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，就有DF=DC，∠ADF=∠BCD，就可以得出△DCF为等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AECF是平行四边形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出结论；
（3）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，就有DF=DC，∠ADF=∠BCD，就可以得出△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，就有CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．

解答：解：（1）①连结AC，
∵AD=BE，BD=CE，
∴AD+BD=BE+CE，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．
在△CBD和△ACE中

BC=AC ∠B=∠ACB BD=CE

，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴∠BCD=∠CAE．
∵∠APD=∠CAE+∠ACD，
∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°．
故答案为60°；
②作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B．
在△FAD和△DBC中，

AF=BD ∠FAD=∠B AD=BC

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠FAD=90°，∠B=90，
∴∠FAD+∠B=180°，
∴AF∥BC．
∵DB=CE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA．
∵∠APD=∠ACP+∠EAC，
∴∠APD=∠ACP+∠ACE=45°；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，

AF=BD ∠FAD=∠DBC AD=BC

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．