Question

2．已知：如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D．
（1）当AP：PB=1：2，S_△ABC=18cm²时，S_△APN=2cm²．
（2）若$\frac{{S}_{△APN}}{{S}_{四边形PBCN}}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{AD}$的值．
（3）若BC=15cm，AD=10cm，且PN=ED=x，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由PN∥BC，可得△APN∽△ABC，又由AP：PB=1：2，S△ABC=18cm2，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△APN；
（2）由PN∥BC，AD⊥BC，$\frac{{S}_{△APN}}{S四边形PBCN}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AP：PB=1：2，
∴AP：AB=1：3，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△APN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AP}{AB}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵S_△ABC=18cm²，
∴S_△APN=2cm²．
故答案为：2cm²；

（2）∵PN∥BC，AD⊥BC，
∴AE⊥PN，
∵$\frac{{S}_{△APN}}{{S}_{四边形PBCN}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△APN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，
∵△APN∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△APN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AD}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（3）∵△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，
即：$\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$，
解得：x=6．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．