Question

13．如图1，抛物线y=kx²+2经过（4，0），A（a，b）是抛物线上的任意一点，直线l经过（0，4）且与x轴平行，过A作A⊥l于B点．
（1）直接写出k的值：k=-$\frac{1}{8}$；
（2）当a=0时，AO=2，AB=2；当a=8时，AO=10，AB=10；
（3）由（2）的结论，请你猜想：对于抛物线上的任意一点A，AO与AB有怎样的大小关系，并证明你的猜想；
（4）如图2，已知线段CD=12，线段的两端点C、D在抛物线上滑动，求C、D两点到直线l的距离之和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法可求k的值；
（2）a记为A点的横坐标．a=0时，直接代入得A（0，2），则AO，AB长易知．当a=8时，直接代入得A（8，-6），OA可由勾股定理求得，AB=y_B-（-6）．
（3）猜想AO=AB．证明时因为a是满足二次函数y=-$\frac{1}{8}$x²+2的点，一般可设（a，-$\frac{1}{8}$a²+2）．类似（2）利用勾股定理和AB=y_B-（-2）可求出AO与AB，比较即得结论．
（4）考虑（3）结论，即函数y=-$\frac{1}{8}$x²+2的点到原点的距离等于其到l的距离．要求C、D两点到l距离的和，即C、D两点到原点的和，若CD不过点O，则OC+OD＞CD=12，若CD过点O，则OC+OD=CD=12，所以OC+OD≥12，即C、D两点到l距离的和≥12，进而最小值即为12．

解答 解：（1）∵抛物线y=kx²+2经过（4，0），
∴16k+2=0，
解得k=-$\frac{1}{8}$；
故答案为：-$\frac{1}{8}$；
（2）当a=0时，b=2，AO=2，AB=4-2=2；
当a=8时，b=-6，AO=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，AB=4-（-6）=10；
（3）猜想：AO=AB．
证明：如图1，延长BA，交x轴于点E，
∵A（a，b）是抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+2上的点，
∴A（a，-$\frac{1}{8}$a²+2），AE=|-$\frac{1}{8}$x²+2|，OE=|a|，
在直角△AEO中，AO²=AE²+OE²=（-$\frac{1}{8}$a²+2）²+a²=$\frac{1}{64}$a⁴+$\frac{1}{2}$a²+4，
而AB²=（4+$\frac{1}{8}$a²-2）²=$\frac{1}{64}$a⁴+$\frac{1}{2}$a²+4，
∴AO²=AB²，
∴AO=AB；
（4）如图2，连结OC，OD，过点C作CM⊥l于M，过点D作DN⊥l于N，
此时CM即为C点到l的距离，DN即为D点到l的距离．
则有CO=CM，DO=DN，
在△COD中，
∵CO+DO＞CD，
∴CM+DN＞CD．
当CD过O点时，
∵CO+DO=CD，
∴CM+DN=CD．
∴CM+DN≥CD，
即CM+DN≥12．
∴C、D两点到直线l的距离之和的最小值是12．

点评 本题考查了二次函数综合题，学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，勾股定理，坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．