Question

12．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，则正方形的面积为4．

Answer 1

分析 过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，根据正方形的性质和AAS证明△COM与△DON全等，再利用勾股定理进行解答即可．

解答 解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，

∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠DON}\\{∠N=∠CMO=90°}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，则OC=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2a=$\sqrt{2}$a，
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴CD=2a，DE=a，
由勾股定理得，得$CE=\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{（2a）^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}a$，
∵OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴四边形OCED的面积=$\frac{1}{2}a•\sqrt{3}a+\frac{1}{2}（\sqrt{2}a）（\sqrt{2}a）$
四边形OMEN的面积=$\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}$，
∵四边形OCED的面积=四边形OMEN的面积，即可得：$\frac{1}{2}a•\sqrt{3}a+\frac{1}{2}（\sqrt{2}a）（\sqrt{2}a）$=$\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}$，
解得a²=1，
∴正方形ABCD的面积=（2a）²=4a²=4×1=4，
故答案为：4

点评 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行分析，利用勾股定理进行解答．