【题目】如图,点C在以AB为直径的⊙O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E.
(1) 求证:AC平分∠DAB;
(2) 连接BE交AC于点F,若cos∠CAD=,求的值.
【答案】(1) 详见解析;(2).
【解析】
试题(1) 连接OC,由已知条件易得∠CAD=∠OCA,∠OCA=∠OAC,所以∠CAD=∠CAO,即可得AC平分∠DAB;(2).连接BE交OC于点H,易证OC⊥BE,可知∠OCA=∠CAD,因COS∠HCF=,可设HC=4,FC=5,则FH=3.由△AEF∽△CHF,设EF=3x,则AF=5x,AE=4x,所以OH=2x ,在△OBH中,由勾股定理列方程求解即可.
试题解析:(1)证明:连接OC,则OC⊥CD,
又AD⊥CD,
∴AD∥OC,
∴∠CAD=∠OCA,
又OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,
∴∠CAD=∠CAO,
∴AC平分∠DAB.
(2)解:连接BE交OC于点H,易证OC⊥BE,可知∠OCA=∠CAD,
∴COS∠HCF=,设HC=4,FC=5,则FH=3.
又△AEF∽△CHF,设EF=3x,则AF=5x,AE=4x,∴OH=2x
∴BH=HE=3x+3 OB=OC=2x+4
在△OBH中,(2x)2+(3x+3)2=(2x+4)2
化简得:9x2+2x-7=0,解得:x=(另一负值舍去).
∴.
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【题目】如图,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F,求证:∠CEF=∠CFE.
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【题目】已知函数y=(m+2)x2+kx+n.
(1)若此函数为一次函数;①m,k,n的取值范围;②当﹣2≤x≤1时,0≤y≤3,求此函数关系式;
(2)若m=﹣1,n=2,当﹣2≤x≤2时,此函数有最小值﹣4,求实数k的值.
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【题目】如图,在四边形中,、为对角线,点、、、分别为、、、边的中点,下列说法:
①当时,、、、四点共圆.
②当时,、、、四点共圆.
③当且时,、、、四点共圆.
其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②③
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【题目】嘉兴市2010~2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求嘉兴市2010~2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数.
(2)求嘉兴市近三年(2012~2014年)的社会消费品零售总额这组数据的平均数.
(3)用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式,不必计算出结果).
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【题目】我们知道,对任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=pq(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称pq是n的最佳分解,并规定:F(n)=,例如12可以分解为112,26或34,因为12-1>6-2>4-3,所以34是最佳分解,所以F(n)=。
(1)如果一个正整数是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数,求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1
(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y (1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们就称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中F(t)的最大值。
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