分析 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标，根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标，由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{OC}{DC}=\frac{CM}{CE}$，代入数据即可求出DC的长度；
（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE面积的最大值．
解答 解：（1）将点A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx-2中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b-2}\\{0=a+b-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-2．
（2）令y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-2中x=0，则y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，CE=4．
∵A（-3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，
∴M（-1，0），
∴CM=$\sqrt{（-1-0）^{2}+[0-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CDE=90°，
∴△COM∽△CDE，
∴$\frac{OC}{DC}=\frac{CM}{CE}$，
∴DC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
（3）将抛物线向上平移$\frac{3}{2}$个单位长度后的解析式为y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-2+$\frac{3}{2}$=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$，
令y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$中y=0，即$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$=0，
解得：x1=$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$，x2=$\frac{-2+\sqrt{7}}{2}$．
∵点P在第三象限，
∴$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜x＜0．
过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．
（方法一）：在Rt△CDE中，CD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CE=4，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，sin∠DCE=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CDD′中，CD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∠CD′D=90°，
∴DD′=CD•sin∠DCE=$\frac{8}{5}$，CD′=$\sqrt{C{D}^{2}-DD{′}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴OD′=CD′-OC=$\frac{6}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），D′（0，$\frac{6}{5}$）．
∵P（x，$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$），
∴P′（0，$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$）．
∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P-S△EPP′=$\frac{1}{2}$DD′•ED′+$\frac{1}{2}$（DD′+PP′）•D′P′-$\frac{1}{2}$PP′•EP′=-$\frac{8}{15}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+2（$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜x＜0），
∵S△PDE=-$\frac{8}{15}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+2=-$\frac{8}{15}$$（x+\frac{5}{8}）^{2}$+$\frac{53}{24}$，$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜-$\frac{5}{8}$＜0，
∴当x=-$\frac{5}{8}$时，S△PDE取最大值，最大值为$\frac{53}{24}$．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=-$\frac{8}{15}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+2（$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜x＜0），且△PDE面积的最大值为$\frac{53}{24}$．
（方法二）：在Rt△CDE中，CD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CE=4，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD，
∴△CDE∽△CD′D，
∴$\frac{DD′}{DE}=\frac{CD′}{CD}=\frac{CD}{CE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DD′=$\frac{8}{5}$，CD′=$\frac{16}{5}$，
∴∴OD′=CD′-OC=$\frac{6}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），D′（0，$\frac{6}{5}$）．
∵P（x，$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$），
∴P′（0，$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{2}$）．
∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P-S△EPP′=$\frac{1}{2}$DD′•ED′+$\frac{1}{2}$（DD′+PP′）•D′P′-$\frac{1}{2}$PP′•EP′=-$\frac{8}{15}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+2（$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜x＜0），
∵S△PDE=-$\frac{8}{15}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+2=-$\frac{8}{15}$$（x+\frac{5}{8}）^{2}$+$\frac{53}{24}$，$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜-$\frac{5}{8}$＜0，
∴当x=-$\frac{5}{8}$时，S△PDE取最大值，最大值为$\frac{53}{24}$．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=-$\frac{8}{15}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+2（$\frac{-2-\sqrt{7}}{2}$＜x＜0），且△PDE面积的最大值为$\frac{53}{24}$．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系；（3）利用分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，但数据稍显繁琐，本题巧妙的利用了分割图形法求不规则的图形面积，给解题带来了极大的方便．
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如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线分别交AD于E，G，交AC于F，H．求证：EH∥GC．