Question

．（8分）如图1，已知直线y=2x（即直线l₁）和直线y=—x+4（即直线l₂），l₂与x轴相交于点A．点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位．设运动了t秒．

【小题1】（1）求这时点P、Q的坐标（用t表示）．
【小题2】（2）过点P、Q分别作x轴的垂线，与l₁、l₂分别相交于点O₁、O₂（如图1）．
以O₁为圆心、O₁P为半径的圆与以O₂为圆心、O₂Q为半径的圆能否相切若能，求出t值；若不能，说明理由．

Answer 1

【小题1】解：（1）点P的横坐标为t，P点的坐标为（t，0），
由- x+4=0得x=8，
所以点Q的横坐标为8-2t，点Q的坐标为（8-2t，0）．
【小题2】（2）由（1）可知点O₁的横坐标为t，点O₂的横坐标为8-2t，
将x=t代入y=2x，得y=2t，
所以点O₁的坐标为（t，2t），
将x=8-2t代入y="-" x+4，得y=t，
所以点O₂的坐标为（8-2t，t），
①若这两圆外切（如图），连接O₁O₂，过点O₂作O₂N⊥O₁P，垂足为N．
则O₁O₂=2t+t=3t，O₂N=8-2t-t=8-3t，O₁P=2t-t=t，
所以t²+（8-3t）²=（3t）²，
即t²-48t+64=0，解得t₁="24+16" ，t₂="24-16" ．
②若这两圆内切，又因为两圆都x轴相切所以点P、Q重合（如图）
此时O₁、O₂的横坐标相同，即8-2t=t，t= ，
（或：设l₂与y轴相交于点M，则= ，即= ，
所以t= ，
所以两圆能相切，这是t的值分别为24+16 ，24-16 和．

解析