Question

如图，在平面直角坐标系中xoy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=

4

5

，CD与y轴交于点E，且S_△COE=S_△ADE
（1）求线段BC的长；
（2）求经过C、E、B三点的抛物线的解析式；
（3）延长AB，交抛物线于点F，点P是坐标轴上的一动点，是否存在使以P、B、F为三点的三角形与△ACO相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先在Rt△AOB中，利用正弦函数的定义求出AB=10，再利用勾股定理得到OB=6，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出BC=2OB=12；
（2）过点D作DM⊥x轴于M．先由S_△COE=S_△ADE得出S_△CDB=S_△AOB=24，DM=4，再由△MBD∽△OBA，根据相似三角形对应边成比例求出BM=3，进而得出D（3，-4）．再运用待定系数法求出经过C、D两点的直线为y=-

4

9

x-

8

3

，求出E（0，-

8

3

），设经过C、E、B三点的抛物线的函数解析式为y=ax²+c，将E（0，-

8

3

）、C（-6，0）代入，运用待定系数法即可求出；
（3）先运用待定系数法求出经过A、B两点的直线为y=

4

3

x-8，再将y=

4

3

x-8代入y=

2

27

x²-

8

3

，得x²-18x+72=0，解方程求出x的值，得到F（12，8）．由于
点P是坐标轴上的一动点，所以分点P在x轴上和若点P在y轴上两种情况进行讨论．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，
∴sin∠ABO=

OA

AB

=

8

AB

=

4

5

，
∴AB=

5×8

4

=10，
∴OB=

102-82

=6．
∵AB=AC，OA⊥BC，
∴BC=2OB=12；

（2）如右图，过点D作DM⊥x轴于M．
由S_△COE=S_△ADE得，S_△CDB=S_△AOB=

1

2

×6×8=24．
∴DM=

2×24

12

=4．
∵MD∥OA，
∴△MBD∽△OBA，
∴

MB

OB

=

DM

AO

=

1

2

，
∴BM=

1

2

×6=3，
∴OM=6-3=3，
∴D（3，-4）．
设经过C、D两点的直线函数解析式为y=kx+b，
将C（-6，0），D（3，-4）代入，
得

0=-6k+b -4=3k+b

，解得

k=- 4 9 b=- 8 3

，
所以该直线函数解析式为y=-

4

9

x-

8

3

．
当x=0时，y=-

8

3

，
∴E（0，-

8

3

）．
设经过C、E、B三点的抛物线的函数解析式为y=ax²+c．
将E（0，-

8

3

）、C（-6，0）代入得

c=- 8 3 36a+c=0

，解得

a= 2 27 c=- 8 3

，
∴y=

2

27

x²-

8

3

；

（3）设经过A、B两点的直线函数解析式为y=mx+n，
将B（6，0），A（0，-8）代入，
得

0=6m+n -8=n

，解得

m= 4 3 n=-8

，
∴y=

4

3

x-8．
将y=

4

3

x-8代入y=

2

27

x²-

8

3

，
化简整理得，x²-18x+72=0，
解得x₁=6，x₂=12．
当x=12时，y=8，
∴F（12，8）．
直角△AOC中，∠AOC=90°，OA=8，OC=6，AC=10．
△BPF中，BF=

(12-6)2+82

=10．
若点P在x轴上，
①如图1，过点F作FP₁⊥x轴于点P₁，则△P₁BF≌△OCA，此时P₁（12，0）；

②如图2，过点F作FN⊥x轴于点N，FP₂⊥BF交x轴于点P₂，则△NBF≌△OCA，△NBF∽△FBP₂，所以△OCA∽△FBP₂．

∵FN=8，BN=6，
∴P₂N=

FN2

BN

=

64

6

=

32

3

，
∴OP₂=ON+P₂N=12+

32

3

=

68

3

，
∴P₂（

68

3

，0）；
若点P在y轴上，
③如图3，延长P₂F交y轴于点P．
由②知，N不是OP₂中点，故点F也不是P₂P中点，故∠BPF与∠BP₂F不相等，因此，该P点不存在；


④如图4，过点F作FN⊥x轴于点N，过点B作BP₃⊥AF交y轴于点P₃，

∵AB=BF=10，BP₃⊥AF，
∴FP₃=AP₃，
∴∠P₃AB=∠P₃FB，
∵∠P₃AB=∠P₃AC，
∴∠P₃FB=∠P₃AC．
在△FBP₃与△AOC中，

∠P3FB=∠CAO ∠P3BF=∠COA=90°

，
∴△FBP₃∽△AOC．
∵P₃O=

OB2

OA

=

36

8

=

9

2

，
∴P₃（0，

9

2

）．
综上所述，P点的坐标为P₁（12，0），P₂（

68

3

，0），P₃（0，

9

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．