Question

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．
画法初探
①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是   ；
④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．

①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？
你的解答是：   （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．
②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

Answer 1

（1）①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②不是，如正三角形；③直角三角形；④；（2）①在距离A点b2a处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q；②辩证思考：问题：是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似线的矩形．解答：不是，如正方形．

试题分析：（1）①根据“自相似点”的定义结合相似三角形的判定方法求解即可；
②根据“自相似点”的定义结合相似三角形的判定方法即可作出判断；
③根据“自相似点”的定义结合相似三角形的性质即可作出判断；
④先根据等腰三角形的性质求得∠B、∠ACB的度数，再根据P是△ABC边AB上的相似点可证得△CBP∽△ABC，再根据相似三角形的性质求解即可；
（2）①在距离A点处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q；
②答案不唯一，合理即可.
（1）①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，
在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，
则P为△ABC的自相似点；
②不是，如正三角形．
③直角三角形．
④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵P是△ABC边AB上的相似点．
∴△CBP∽△ABC．
∴∠BCP＝∠A＝36°，且．
∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC．
∴AP＝CP＝BC．
设BP＝x，AP＝CP＝BC＝y，有＝．
化简，得x²＋xy－y²＝0．
舍去负根，得＝，即＝；
（2）①在距离A点处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q；
②辩证思考
问题：是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似线的矩形．
解答：不是，如正方形．
特例分析
答案不唯一，以下答案供参考：
i）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之间有何数量关系？
解答：a＝2b．
ii）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且P 是AB的中点，a、b之间有何数量关系？
解答：a＝2b．
iii）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，当a＝2，b＝1时，求AP．
解答：AP＝12． 
iv）问题：已知矩形ABCD为黄金矩形（即＝），PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，求．
解答：＝．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.