【题目】在等腰Rt△ABC中,CA=BA,∠CAB=90°,点M是AB上一点,
(1)点N为BC上一点,满足∠CNM=∠ANB.
①如图1,求证:;②如图2,若点M是AB的中点,连接CM,求的值;
(2)如图3,若AM=1,BM=2,点P为射线CA(除点C外)上一个动点,直线PM交射线CB于点D,猜测△CPD面积是否有最小值,若有,请求出最小值:若没有,请说明理由.
【答案】(1)①见解析,②;(2)4.
【解析】分析:
(1)①由已知条件易得∠B=∠C,∠BNM=∠CAN,从而可得△BNM∽△CNA,由此可得BM:CA=BN:CN结合CA=AB即可得到所求结论;
②如下图2,过点B作BH⊥BA交AN的延长线于点H,则结合已知条件易得△BMN≌△BHN,由此可得BH=BM=AM,从而可得△ACM≌△BAH,由此可得CM=AH=AN+NH=AN+NM,从而可得,结合由①中△BNM∽△CAN可得的:MN:AN=MB:AC=1:2即可求得所求比值;
(2)如下图3,设点M是PD的中点,过点M作直线P′D′与射线CA,CB分别交于点P′,D′,则M不是P′D′中点,此时存在MD′>MP′或MD′<MP′两种情况,在两种情况下,分别证明S△P′CD′>S△PCD即可说明当点M是PD中点时,△PCD的面积最小,然后,如下图4,过点D作DH⊥AB于点H,证得△DHM≌△PAM,进一步证得△DBM和△PCD此时是等腰直角三角形,这样结合题目中的已知数量即可求得此时△PCD的面积了.
详解:
(1)① ∵CA=BA,∠CAB=90°,
∴∠C=∠B=45°,
∵∠CNM=∠ANB,
∴∠CNM﹣∠ANM=∠ANB﹣∠ANM,
∴∠ANC=∠BNM,
∴△CNA∽△BNM,
∴,
∵CA=BA,
∴;
② 作BH⊥BA交AN的延长线于H,
∵ 在△BMN和△BHN中,
∠MBN=∠HBN=45°,BN=BN,∠MNB=∠HNB,
∴△BMN≌△BHN,
则△ACM≌△BAH,
∴CM=AH=AN+NH=AN+NM,
由①△CNA∽△BNM,点M是AB的中点,
∴=2,
∴=;
(2)设点M是PD中点,过点M作直线P′D′与射线CA,CB分别交于点P′,D′,
则点M不是P′D′的中点,当MD′>MP′时,在MD′上截取ME=MP′,连接DE,
则△MPP′≌△MDE,
∴S△P′CD′>S四边形P′CDE=S△PCD,
当 MD′<MP′时,同理可得,S△P′CD′>S△PCD,
∴当点M是PD中点,△CPD面积的最小.
如图4,作DH⊥AB于H,
则△DHM≌△PAM.
∴AM=1,MH=1,BH=1,
∴△MDB是等腰直角三角形,
∴DH=BH=AP=1,∠PDC=90°,
∴△PCD是等腰直角三角形,CP=3+1=4,
∴△PCD的面积=4.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋,检测每袋的重量是否符合标准,超过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如下表:
与标准重量的差值(单位:g) | ﹣5 | ﹣2 | 0 | 1 | 3 | 6 |
袋数 | 1 | 4 | 3 | 4 | 5 | 3 |
(1)计算这批样品的平均重量,判断它比标准重量重还是轻多少?
(2)若标准重量为450克,则这批样品的总重量是多少?
(3)若这种食品的合格标准为450±5克,则这批样品的合格率为 (直接填写答案)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读第①小题的计算方法,再计算第②小题.
①–5+(–9)+17+(–3)
解:原式=[(–5)+(–)]+[(–9)+(–)]+(17+)+[(–3+(–)]
=[(–5)+(–9)+(–3)+17]+[(–)+(–)+(–)+]
=0+(–1)
=–1.
上述这种方法叫做拆项法.灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便.
②仿照上面的方法计算:(﹣2000)+(﹣1999)+4000+(﹣1)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.
(1)求证:直线DF与⊙O相切;
(2)求证:BF=EF;
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点都叫做格点.(请利用网格作图,画出的线请用铅笔描粗描黑)
(1)过点C画AB的垂线,并标出垂线所过格点E;
(2)过点C画AB的平行线CF,并标出平行线所过格点F;
(3)直线CE与直线CF的位置关系是 ;
(4)连接AC,BC,则三角形ABC的面积为 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,小明想利用太阳光测量楼高,发现对面墙上有这栋楼的影子,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠且高度恰好相同.此时测得墙上影子高,,(点A、E、C在同一直线上).已知小明身高EF是1.6m,则楼高AB为______m.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动,并在活动之后举办经典诗词大赛,为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图(部分)如下图所示:
大赛结束后一个月,再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表:
一周诗词诵背数量 | 3首 | 4首 | 5首 | 6首 | 7首 | 8首 |
人 数 | 10 | 10 | 15 | m | 25 | 20 |
请根据调查的信息
(1)本次调查抽取了多少名学生?
(2)补全条形统计图,在扇形统计图中,“6首”的圆心角为 度;
(3)表格中m的值为 ;
(4)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数;
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在圆⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )
A. 19 B. 16 C. 18 D. 20
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com