Question

在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H.求证，EF⊥CD；
（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.

图1                       图2

Answer 1

（1）证明见解析；（2）BP=AF+FP，理由见解析.

试题分析：（1）过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，通过证明△ABE≌△CAM和△ABE≌△ACD得到∠EHC=90°，即可证明.
（2）过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，由（1）△ABE≌△CAM和△ABE≌△ACD，通过角的等量代换即可得到△QCF≌△MCF，从而得到BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）+PQ=AF+FQ+PQ=AF+FP.
（1）如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，
∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，∴∠1+∠5=∠2+∠5="90°" .∴∠1=∠2.
又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC，∴△ABE≌△CAM. ∴AE=CM，∠5=∠M.
∵AE=EC，∴EC=CM.
∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵∠ACM=90°，∴∠4==∠ACF.
∴△ECF≌△MCF.∴∠6=∠M. ∴∠6=∠5.
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD=AE.
又∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD.∴∠1=∠3. ∴∠3+∠6=90°.
∴∠EHC=90°.∴EF⊥CD.

（2）如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，
由（1）得：△ABE≌△CAM，∴AE=CM，∠5=∠M，BE=AM.
由（1）得：△ABE≌△ACD，∴∠1=∠3.
∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°，∴∠3+∠6=∠1+∠5. ∴∠6=∠5.
∵∠6=∠8，∠7=∠5，∴∠7=∠8. ∴EP=QP.
∵∠6=∠5，∠5=∠M，∴∠6=∠M.
∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵∠ACM=90°，∴∠4==∠ACF. ∴△QCF≌△MCF.
∴FQ=FM.
∴BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）+PQ=AF+FQ+PQ=AF+FP.