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14.如图,在等边三角形△ABC中,点D为线段BC的中点,点E、F分别在线段AB和AC上,∠EDF=60°.
(1)求证:△BDE∽△CFD;
(2)若BE•CF=9,求△ABC的边长.

分析 (1)由等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°,AB=BC=AC,由三角形的外角性质和已知条件得出∠CDF=∠BED,即可证出△BDE∽△CFD;
(2)由相似三角形的性质得出BE:CD=BD:CF,得出CD•BD=BE•CF=9,由中点的定义得出BD=CD,求出CD=3,即可得出AB=BC=AC=2BD=6.

解答 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC,
∵∠CDE=∠B+∠BED,∠EDF=60°,
∴∠CDF=∠BED,
∴△BDE∽△CFD;
(2)解:由(1)得:△BDE∽△CFD,
∴BE:CD=BD:CF,
∴CD•BD=BE•CF=9,
∵点D为线段BC的中点,
∴BD=CD,
∴CD2=9,
∴CD=3,
∴AB=BC=AC=2BD=6.

点评 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质;熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.

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