Question

4．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）当点D运动到∠BAC的平分线与BC的交点位置时（如图2），若BC=12，求DE的长；
（2）结合图1，猜想DE、DF与BC三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°．BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，在Rt△BDE中，∠B=30°，得出DE=$\frac{1}{2}$BD=3即可．
（2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°．求出DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$CD，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6
∵在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3．
（2）猜想：DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$（BD+CD），
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．