Question

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，即可求解；
（2）根据勾股定理，即可列方程求解．

解答：解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴

1+x＞3-x 1+3-x＞x

，解得1＜x＜2．　（4分）

（2）①若AC为斜边，则1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

，满足1＜x＜2．
③若BC为斜边，则（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

，满足1＜x＜2．
∴x=

5

3

或x=

4

3

．

点评：本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．