Question

6．设a和b是两个连续整数，y=a²+b²+a²b²，求证$\sqrt{y}$是有理数．

Answer 1

分析 由于y=a²+b²+a²b²，其中a，b是相邻的正整数，可知b=a+1，则y=a²+b²+a²b²=a²+（a+1）²+a²（a+1）²=1+2（a²+a）+（a²+a）²=（a²+a+1）²，依此即可求解．

解答 证明：∵a，b是相邻的正整数，
∴b=a+1，
∴y=a²+b²+a²b²=a²+（a+1）²+a²（a+1）²=1+2（a²+a）+（a²+a）²=（a²+a+1）²，
∴$\sqrt{y}$=a²+a+1，
∴$\sqrt{y}$是有理数．

点评 考查了实数，解题的关键是根据题意得到b=a+1后，将y=a²+b²+a²b²写成完全平方的形式．