Question

【题目】已知抛物线y＝x2－2bx＋c.

(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b，c的值；

(2)若b＋c＝0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；

(3)若c＝b＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝2，c＝1（2）存在（3）3或

【解析】

（1）根据题意得到抛物线为y=(x-2)2-3，整理成一般式即可求得b，c的值；

（2）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；

（3）求得函数的对称轴是x=b，然后分成b≤-2，-2＜b＜2和b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．

解：（1）∵抛物线y＝x2－2bx＋c，

∴a＝1.

∵抛物线的顶点坐标为(2，－3)，

∴y＝(x－2)2－3.

∵y＝(x－2)2－3＝x2－4x＋1，

∴b＝2，c＝1.

（2）存在．

理由：由y＝1，得x2－2bx＋c＝1，

∴x2－2bx＋c－1＝0.

∵Δ＝4b2＋4b＋4＝(2b＋1)2＋3＞0，

则存在两个实数x，使得y＝1.

（3）由c＝b＋2，则抛物线可化为y＝x2－2bx＋b＋2，其对称轴为直线x＝b.

①当b≤－2时，则抛物线在x＝－2时取得最小值，此时

－3＝(－2)2－2×(－2)b＋b＋2，

解得b＝－，不合题意；

②当b≥2时，则抛物线在x＝2时取得最小值，

此时－3＝22－2×2b＋b＋2，

解得b＝3；

③当－2＜b＜2时，则抛物线在x＝b时取得最小值，

此时＝－3，

化简，得b2－b－5＝0，

解得b1＝ (不符合题意，舍去)，b2＝.

综上所述，b的值为3或.