Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD。

（1）求证：∠ADB=∠E；

（2）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由AB=AC，可证∠ABC=∠C；由平行线的性质知∠ABC=∠E，结合圆周角定理可证结论成立；

（2）可通过构建直角三角形来求解，连接BO、AO，并延长AO交BC于点F，根据垂径定理BF=CF，AF=r+OF，那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF，OB，然后根据勾股定理求出半径的长．

解：（1）在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C.

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠E，

∴∠E=∠C.

又∵∠ADB=∠C，

∴∠ADB=∠E；

（2）连线BO、AO，并延长AO交BC于点F，则AF⊥BC，且BF=CF=3，

又∵AB=5，

∴AF==4。

设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3，

∴r2=32+（4-r）2，

解得r=，

∴⊙O的半径是．