Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似．请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据圆心的坐标和半径的长即可求出A，B两点的坐标，然后将A，B的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．
（2）可先在直角三角形OO₁M中求出∠MO₁O的度数，然后过M作x轴的垂线，设垂足为F，可在直角三角形MO₁F中根据∠MO₁O的度数和MO₁的长求出MF和O₁F的长，即可得出M点的坐标，进而可根据M的坐标求出直线OM的解析式．
（3）由于P在OM上，因此∠POA=∠MOO₁，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当AP∥O₁M时，②当PA⊥OB时．据此可求出P点的坐标．（①可参照求M点坐标时的方法来解，②可直接将A点横坐标代入直线OM的解析式中，即可求出P的坐标）．

解答：解：（1）∵圆心的坐标为O₁（2，0），⊙O₁半径为1，
∴A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A，B，
∴可得方程组

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
解得：

b=4 c=-3

，
∴二次函数解析式为y=-x²+4x-3．

（2）过点M作MF⊥X轴，垂足为F．
∵OM是⊙O₁的切线，M为切点，
∴O₁M⊥OM（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在RT△OO₁M中，sin∠O₁OM=

O1M

OO1

=

1

2

，
∵∠O₁OM为锐角，
∴∠O₁OM=30°，
∴OM=OO₁•cos30°=

3

，
在RT△MOF中，OF=OM•cos30°=

3

2

．
MF=OMsin30°=

3

2

．
∴点M坐标为（

3

2

，

3

2

），
设切线OM的函数解析式为y=kx（k≠0），由题意可知

3

2

=

3

2

k，
∴k=

3

3

，
∴切线OM的函数解析式为y=

3

3

x

（3）两个，
①过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁，
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O（两角对应相等两三角形相似），
P₁A=OA•tan∠AOP₁=

3

3

，
∴P₁（1，

3

3

）；
②过点A作AP₂⊥OM，垂足为，过P₂点作P₂H⊥OA，垂足为H．
可得Rt△OP₂A∽Rt△O₁MO（两角对应相等两三角形相似），
在Rt△OP₂A中，
∵OA=1，
∴P₂=OA•cos30°=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂•cos∠AOP₂=

3

4

，
P₂H=OP₂•sin∠AOP₂=

3

4

，P₂（

3

4

，

3

4

），
∴符合条件的P点坐标有（1，

3

3

），（

3

4

，

3

4

）．

点评：本题主要考查了切线的性质，一次函数和二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质等知识点．
考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．