Question

2．如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+4与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（-$\frac{3}{2}$，5）是抛物线C₁上一点，抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0），M（-$\frac{3}{2}$，5）代入y=ax²+bx+4，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线C₁的解析式；
（2）根据抛物线C₁的解析式求出B（1，0），C（0，4）．根据关于y轴对称的两点坐标特征以及抛物线的对称性得出M′（$\frac{3}{2}$，5），B′（-1，0），A′（3，0），∠CAA′=∠CA′A，那么AB′=2．利用待定系数法求出直线A′C的解析式，求出D（$\frac{3}{2}$，2）．由勾股定理得出AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，DA′=$\sqrt{D{E}^{2}+A′{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．设P（m，0）．分m＜3与m＞3两种情况讨论即可．

解答 解：（1）把A（-3，0），M（-$\frac{3}{2}$，5）代入y=ax²+bx+4得，
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+4=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
所以抛物线C₁的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4；

（2）令y=0，则-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴B（1，0），
令x=0，则y=4，∴C（0，4）．
由题意，知M′（$\frac{3}{2}$，5），B′（-1，0），A′（3，0），∠CAA′=∠CA′A，
∴AB′=2．
设直线A′C的解析式为y=px+q．
把A′（3，0），C（0，4）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{3p+q=0}\\{q=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{4}{3}}\\{q=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{2}$+4=2，∴D（$\frac{3}{2}$，2）．
由勾股定理得，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，DA′=$\sqrt{D{E}^{2}+A′{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
设P（m，0）．
当m＜3时，此时点P在点A′的左边，
若$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AC}{AB′}$，即有△DA′P∽△CAB′，
∴$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$（3-m），解得m=2，
∴P（2，0）．
若$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AB′}{AC}$，即有△DA′P∽△B′AC，
∴$\frac{5}{2}$=$\frac{2}{5}$（3-m），解得m=-$\frac{13}{4}$，
∴P（-$\frac{13}{4}$，0）．
当m＞3时，此时点P在点A′的右边，
∵∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P，
∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似．
综上所述，存在点P（2，0）或（-$\frac{13}{4}$，0）满足条件．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，关于y轴对称的两点坐标特征，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识．利用分类讨论、数形结合以及方程思想是解题的关键．