Question

13．如图，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，2），分别过点A，C作x轴、y轴的垂线交于点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交线段AB于点D，且把四边形OABC的面积分成1：3两部分，求点D的坐标；
（3）将（2）中的线段CD向下平移h个单位（h＞0），得到对应线段C′D′，若C′D′将四边形OABC的周长分成相等的两部分，求h的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，2），即可写出点B的坐标；
（2）直线CD把四边形OABC的面积分成1：3两部分，可得${S}_{△CBD}=\frac{1}{4}{S}_{四边形OABC}=\frac{3}{2}$或${S}_{△CBD}=\frac{3}{4}{S}_{四边形OABC}=\frac{9}{2}$，因为点D在线段AB上，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AB=3$，所以${S}_{△CBD}=\frac{9}{2}＞3$不合题意，舍去，根据$\frac{1}{2}BC•BD=\frac{3}{2}$，求得BD=1，即AD=1，即可解答；
（3）利用四边形OABC的周长=2（OA+OC）=10，可得CC′+BC+BD′=5，所以h+3+1+h=5，即可解答．

解答 解：（1）点B的坐标为（3，2）；
（2）∵A、C的坐标分别为（3，0）、（0，2），
∴OA=BC=3，OC=2，
∵直线CD把四边形OABC的面积分成1：3两部分，
∴${S}_{△CBD}=\frac{1}{4}{S}_{四边形OABC}=\frac{3}{2}$或${S}_{△CBD}=\frac{3}{4}{S}_{四边形OABC}=\frac{9}{2}$，
∵点D在线段AB上，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AB=3$，
∴${S}_{△CBD}=\frac{9}{2}＞3$不合题意，舍去，
∴$\frac{1}{2}BC•BD=\frac{3}{2}$，
∴BD=1，即AD=1，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）∵四边形OABC的周长=2（OA+OC）=10，
∴CC′+BC+BD′=5，
∴h+3+1+h=5，
解得：h=0.5．

点评 本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是数形结合思想的应用．