Question

【题目】如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，过点作的切线，与、的延长线分别交于点、，连接．

（1）求证：．

（2）填空：

①已知，当_________时，．

②连接、、．当的度数为_________时，四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）①8；②30°

【解析】

（1）连接OD，因EF是圆的切线，则OD⊥EF.再通过内错角相等，证AF∥OD即可；

（2）①利用点C是AF的中点，证CB是AEF的中位线，从而求得BE的长；

（2）②利用菱形的性质，证ODB是正三角形，进而推导出∠E的大小.

（1）如下图，链接OD

∵EF是O的切线

∴OD⊥EF

∵点D是的中点

∴∠CAD=∠DAB

∵OA=OD=r

∴∠DAB=∠ADO

∴∠CAD=∠ADO

∴AF∥OD

∴AF⊥EF

（2）①如下图，连接CB

∵AB是O的直径，∴∠ACB=90°

∵AF⊥EF，∴EF∥CB

∵点C是AF的中点，∴CB是△AFE的中位线

∴BE=AB=8

（2）②如下图，连接CO、CD

∵四边形OCDB是菱形，∴OB=DB

∵OD=OB，∴OD=OB=DB，∴△ODB是等边三角形

∴∠DOB=60°

∵AF∥OD，∴∠FAE=60°

∴∠E=30°