Question

（2013年浙江义乌10分）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F（，）．
（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45⁰得到△A₁B₁C．请你写出点A₁，B₁的坐标，并判断A₁C和DF的位置关系；
（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45⁰，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．请你求出符合条件的抛物线解析式；
（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标．

Answer 1

解：（1）。
A₁C和DF的位置关系是平行。
（2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，
∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：，解得。
∴。
②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：，解得。
∴。
③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：，解得。
∴。
（3）在旋转过程中，可能有以下情形：
①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示，
易求得点P坐标为（0，）。
②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示，
设点B′，C′的横坐标分别为x₁，x₂，
易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b。
联立y=x²与y=x+b得：x²=x+b，即，∴。
∵B′C′=1，∴根据题意易得：，∴，即。
∴，解得。
∴，解得x或。
∵点C′的横坐标较小，∴。
当时，。
∴P（，）。
③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示，
设点C′，A′的横坐标分别为x₁，x₂．
易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为。
联立y=x²与得：，即，∴。
∵C′A′=1，∴根据题意易得：，∴，即。
∴，解得。
∴，解得x或。
∵点C′的横坐标较大，∴。
当时，。
∴P（，）。
④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上．
因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在。
⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示，
与③同理，可求得：P（，）。
⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示，
与②同理，可求得：P（，）。
综上所述，点P的坐标为：（0，），（，），P（，，（，）。

（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解。
（2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解。
（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解。