Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且D点的横坐标为4．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为$\frac{25}{8}$，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当a=-1时，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过；解方程0=ax²-2ax-3a得到点A的横坐标；把点D的横坐标代入二次函数解析式得到ax²-2ax-3a=kx+k，由此求得k=b，结合点A、D的坐标来求直线l的函数表达式；
（2），如图2，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，由函数图象上点的坐标特征可以设E（x，ax²-2ax-3a），则F（x，ax+a），结合图形得到：S_△ACE=S_△AFE-S_△CFE=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，根据二次函数的最值求得答案；
（3）分两种情形讨论即：若AD是矩形的一条边，利用勾股定理列出方程解决；如图3中，若AD是矩形的一条对角线，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则0=ax²-2ax-3a，
解得x₁=-1，x₂=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），
∵直线l经过点A，
∴0=-k+b，b=k，
∴y=kx+k，
∵点D的横坐标为4，令ax²-2ax-3a=kx+k，
∴a×4²-2a×4-3a=k×4+k，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；

（2）如答图1，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，
设E（x，ax²-2ax-3a），则F（x，ax+a）
EF=ax²-2ax-3a-（ax+a）=ax²-3ax-4a
S_△ACE=S_△AFE-S_△CFE
=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）x
=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，
∴△ACE的面积的最大值为-$\frac{25}{8}$a，
∵△ACE的面积的最大值为$\frac{25}{8}$，
∴-$\frac{25}{8}$a=$\frac{25}{8}$，
解得a=-1；

（3）当a=-1时，抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
∴A（-1，0），D（4，-5），
∴A、D点的横坐标相差5，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴P点的横坐标是1，
①如答图2，若AD是平行四边形的一条边，AD∥QP，则点P与点Q的横坐标相差5，则Q点横坐标是-4，
∴Q（-4，-21）；
②如答图3，若AD是平行四边形的一条对角线，
则线段AD的中点的横坐标是$\frac{3}{2}$，
∵P点的横坐标是1，
∴Q点横坐标是2，
∴Q（2，3），
经验证以上两种以点A、D、P、Q为顶点的平行四边形都不可能是矩形．

点评 本题考查二次函数的有关知识，一次函数的有关知识，矩形的性质，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．