精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知A(-4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C.
(1)求C点坐标及直线BC的解析式;
(2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.

【答案】分析:(1)利用相似及相似比,可得到C的坐标.把A,B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标.
(2)顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点,那么△=0,再把B,C两点即可.
(3)到直线AB的距离为的直线有两条,可求出这两条直线解析式,和二次函数解析式组成方程组,求得点P坐标.
解答:解:(1)过C点向x轴作垂线,垂足为D,由位似图形性质可知△ABO∽△ACD,

由已知A(-4,0),B(0,4)可知
AO=4,BO=4.
∴AD=CD=9,
∴C点坐标为(5,9),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∵A(-4,0),B(0,4)在一次函数解析式上,那么
-4k+b=0,b=4,
解得k=1,
化简得y=x+4;

(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a>0),由题意得
解得
∴解得抛物线解析式为y1=x2-4x+4或y2=x2+x+4,
又∵y2=x2+x+4的顶点在x轴负半轴上,不合题意,故舍去.
∴满足条件的抛物线解析式为y=x2-4x+4,
(准确画出函数y=x2-4x+4图象)

(3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P,设P到直线AB的距离为h,
故P点应在与直线AB平行,且相距的上下两条平行直线l1和l2上.
由平行线的性质可得
两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为
如图,设l1与y轴交于E点,过E作EF⊥BC于F点,
在Rt△BEF中EF=h=,∠EBF=∠ABO=45°,
∴BE=6.
∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10),
同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,-2),
∴两直线解析式l1:y=x+10;l2:y=x-2.
根据题意列出方程组:
(1);(2)
解得
∴满足条件的点P有四个,
它们分别是P1(6,16),P2(-1,9),P3(2,0),P4(3,1).
点评:本题用到的知识点为:可把位似比转换为相似三角形的相似比;到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线;平行直线的k的值相等.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知△ABC内接于⊙O,过A作⊙O的切线,与BC的延长线交于D,且AD=
3
+1
,CD精英家教网=2,∠ADC=30°
(1)AC与BC的长;
(2)求∠ABC的度数;
(3)求弓形AmC的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

30、如图,已知直线a,b与直线c相交,下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

40、尺规作图:如图,已知直线BC及其外一点P,利用尺规过点P作直线BC的平行线.(用两种方法,不要求写作法,但要保留作图痕迹)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知:DE∥BC,AB=14,AC=18,AE=10,则AD的长为(  )
A、
9
70
B、
70
9
C、
5
126
D、
126
5

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

13、如图,已知直线AB∥CD,∠1=50°,则∠2=
50
度.

查看答案和解析>>

同步练习册答案