Question

5．如图，正方形ABCD的边长为10cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否一定经过正方形ABCD内部一个定点，并说明理由；
（3）猜想当E点位于AB上何处时，正方形EFGH面积最小（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；
（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（10-x）cm，由勾股定理得出S=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，S是x的二次函数，容易得出x=5时，四边形EFGH的面积最小．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}&{\;}\\{∠BAD=∠B=∠BCD=∠D}&{\;}\\{AH=BE=CF=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCG}&{\;}\\{∠AOE=∠COG}&{\;}\\{AE=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，OE=OG，
即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（10-x）cm，
根据勾股定理得：EF²=BE²+BF²=x²+（10-x）²，
∴S=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，
∵2＞0，
∴S有最小值，
当x=5时，S的最小值=50，
即E点是AB的中点时，四边形EFGH面积的最小值为50cm²．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果．