Question

17．（1）问题情境，如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）探究发现：如图2，直线y=ax+b（a＜0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于M，N两点，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接EF．你发现
（1）EF与MN有怎样位置关系？
（2）ME与NF有什么数量关系？

Answer 1

分析 （1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可；
（2）①证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案；②设出M、N的坐标，根据M、N分别为直线与反比例函数的交点，代入两解析式可得到ME和NF的关系．

解答 （1）证明：
分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，如图①，

则∠CGA=∠DHB=90°．
∵CG⊥AB、DH⊥AB，
∴∠CGA=∠DHA=90°，
∴∠CGA+∠DHA=180°，
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH，
∴四边形CGHD为平行四边形，
∴AB∥CD；
（2）①证明：连接MF，NE，如图②，

设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=$\frac{1}{2}$x₁y₁=$\frac{1}{2}$k，S_△EFN=$\frac{1}{2}$x₂y₂=k，
∴S_△EFM=S_△EFN，
由（1）中的结论可知：MN∥EF；
②设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵直线y=ax+b（a＜0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于M，N两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=a{x}_{1}+b}\\{{y}_{2}=a{x}_{2}+b}\end{array}\right.$，消去b可得y₁-y₂=a（x₁-x₂）（*），且$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=\frac{k}{{x}_{1}}}\\{{y}_{2}=\frac{k}{{x}_{2}}}\end{array}\right.$，
代入（*）式可得$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂），整理可得k（x₂-x₁）=a（x₁-x₂）x₁x₂，
∴k=-ax₁x₂，
∴$\frac{k}{{x}_{2}}$=-ax₁，即y₂=-ax₁，
∴NF=-aME．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及平行四边形的性质和判定、三角形的面积、反比例函数图象上点的坐标特征等知识．在（1）中证明四边形CGHD为平行四边形是解题的关键，在（2）中证得三角形面积相等，利用（1）的结论是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．