Question

如图，点O是坐标原点，点A(n，0)是x轴上一动点(n＜0)。以AO为一边作矩形AOBC，使OB=2OA,点C在第二象限。将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE。过点A得直线y=kx+m(k≠0)交y轴于点F，FB=FA。抛物线y=ax²+bx+c^{过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作x轴的垂线，垂足为点M。}

(1）求k的值；

(2）点A位置改变使，△AMH的面积和矩形AOBC的面积比是否改变？说明你的理由。

Answer 1

答案：

(1)根据题意，得B(0，－2n)，当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F的坐标为(0，m)．而FB＝－2n－m，在Rt△AOF中，由勾股定理得，m2＋n2＝(－2n－m)2．化简得m＝－0.75n，由于y＝kx－0.75n过点A(n，0)，∴0＝kn－0.75n，∴k＝0.75．

　　(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E(3n，0)，点F(0，－0.75n)，点G(n，－n)，代入解析式得y＝x2－x－n．与直线组成方程组，解得H(5n，3n)，HM＝－3n，AM＝－4n，∴△AMH的面积为6n2，而矩形AOBC的面积为2n2，∴△AMH的面积与矩形AOBC的面积的比为3，不随着点A位置的改变而改变．

提示：

本题是一个综合性较强的题目，探索变化过程中的不变量，关键是将点的坐标用参数n来表示，进而将线段用参数n表示，注意表示过程中n＜0这一条件．