Question

某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用：
（1）如图1，是在直线l上找一点P，使得PA+PB最短（画图即可）．
（2）如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA+PE的值最小，并说明理由．
（3）探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，MN，NA，请你应用（1）的原理在图2中找出点M，N，使得EM+MN+NA的值最小，画图即可．

Answer 1

分析：（1）先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．
（2）首先作E点关于BD的对称点E′，再连接AE′，与BD的交点即为P点．此时PA+PE=AE′最小；
（3）首先作F 和E关于BC对称 再作G 和F关于CD对称，再连接AG，当N为AG和CD交点时最小，此时M为NF和BC的交点，得出图形即可．

解答： 解：（1）如图所示：

（2）作E点关于BD的对称点E′，连接AE′，与BD的交点即为P点．
因为AP+PE=AP+PE′=AE′，此时A，P，E′三点共线，
所以此时此时PA+PE=AE′最小；

（3）作F 和E关于BC对称 再作G 和F关于CD对称，连接AG，当N为AG和CD交点时最小
此时M为NF和BC的交点，
理由：
作了对称后有EM=FM，所以EM+MN=FM+MN≥FN，
当且仅当F，M，N，3点共线时取等号，此时最小，
同理可知道EM+MN+NA最小值．

点评：此题主要考查了运用对称性解决最短距离问题，特别是（3）中利用轴对称得出当且仅当F，M，N，3点共线时EM+MN=FM+MN=FN是解决问题的关键．