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.(10分)如图,已知抛物线与轴交于点,与轴交于点

【小题1】(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标;
【小题2】(2)设直线轴于点.在线段的垂直平分线上是否存在点,使得点到直线的距离等于点到原点的距离?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由;
【小题3】(3)过点轴的垂线,交直线于点,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?


【小题1】(1)设抛物线解析式为,把代入得

顶点
【小题2】(2)假设满足条件的点存在,依题意设
求得直线的解析式为
它与轴的夹角为,设的中垂线交,则
,点的距离为


平方并整理得:

存在满足条件的点的坐标为
【小题3】(3)由上求得
①若抛物线向上平移,可设解析式为
时,
时,


②若抛物线向下移,可设解析式为



向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移个单位长.

解析

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);
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