Question

．（10分）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

【小题1】（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
【小题2】（2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
【小题3】（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

【小题1】（1）设抛物线解析式为，把代入得．
，
顶点
【小题2】（2）假设满足条件的点存在，依题意设，
由求得直线的解析式为，
它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．
则，点到的距离为．
又．
．
平方并整理得：
．
存在满足条件的点，的坐标为
【小题3】（3）由上求得．
①若抛物线向上平移，可设解析式为．
当时，．
当时，．
或．
．
②若抛物线向下移，可设解析式为．
由，
有．
，．
向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．

解析