Question

（本题满分12分）已知关于x的一元二次方程k－（4k+1)x+3k+3=0．

（1）试说明：无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

（1）见解析 （2）或

【解析】

试题分析：（1）利用配方的方法将△进行配方，然后说明△≥0；（2）分两种情况进行讨论，即当AB=AC是，△=0，求出k的值和AB和AC的长度，进行判断是否能构成三角形；当BC为腰时，将x=5代入方程求出k的值，然后求出另外两边的长度进行判断是否能构成三角形．

试题解析：（1）△==4－4k+1=≥0

∴无论k取何值，方程总有两个实数根．

（2）若AB=AC，则方程有两个相等的实数根 即=0 解得：k=

当k=时，AB=AC=3，此时AB、AC、BC满足三边关系．

若BC=5为△ABC的一腰，则方程有一根是5，

将x=5代入方程解得：k=

当k=时，解得方程两根为5和3，此时AB、AC、BC满足三边关系．

∴综上所述：当△ABC是等腰三角形时，k的值为或．

考点：根的判别式、一元一次方程和等腰三角形的性质．