Question

15．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12$\sqrt{3}$，OP=6，则劣弧AB的长为8π．

Answer 1

分析 连接OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得AP=BP=$\frac{1}{2}AB=6\sqrt{3}$，由锐角三角函数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果．

解答 解：连接OA、OB，
∵AB为小⊙O的切线，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}AB=6\sqrt{3}$，
∵$tan∠AOP=\frac{AP}{OP}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，∠OAP=30°，
∴OA=2OP=12，
∴劣弧AB的长为：$\frac{120°}{180°}•π•OA$=$\frac{2}{3}×12×π$=8π．
故答案为：8π．

点评 本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得∠AOP=60°是解答此题的关键．