)如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点,点B在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:①当P运动到何处时,有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
考点:二次函数综合题.
分析:(1)根据一次函数解析式求出点A.点C坐标,再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标,根据平行四边形的性性质求出点D坐标,利用待定系数法可求出b、c的值,继而得出二次函数表达式.
(2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,再由△APQ∽△CAO,利用对应边成比例可求出t的值,继而确定点P的位置;
②只需使△APQ的面积最大,就能满足四边形PDCQ的面积最小,设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO,利用对应边成比例得出h的表达式,继而表示出△APQ的面积表达式,利用配方法求出最大值,即可得出四边形PDCQ的最小值,也可确定点P的位置.
解答:解:(1)由y=﹣x+3,
令x=0,得y=3,所以点A(0,3);
令y=0,得x=4,所以点C(4,0),
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
∴B点坐标为(﹣4,0),
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴D点坐标为(8,3),
将点B(﹣4,0)、点D(8,3)代入二次函数y=x2+bx+c,可得,
解得:,
故该二次函数解析式为:y=x2﹣x﹣3.
(2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
∵PQ⊥AC,
∴△APQ∽△CAO,
∴=,即=,
解得:t=.
即当点P运动到距离A点个单位长度处,有PQ⊥AC.
②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD,且S△ACD=×8×3=12,
∴当△APQ的面积最大时,四边形PDCQ的面积最小,
当动点P运动t秒时,AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO可得:=,
解得:h=(5﹣t),
∴S△APQ=t×(5﹣t)=(﹣t2+5t)=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,S△APQ达到最大值,此时S四边形PDCQ=12﹣=,
故当点P运动到距离点A个单位处时,四边形PDCQ面积最小,最小值为.
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形,利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式,难度较大.
科目:初中数学 来源: 题型:
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