Question

等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D和E为边BC上的点，且∠DAE=45°，△ADE的外接圆分别交边AB和AC于点P和Q，求证：BP+CQ=PQ．

Answer 1

证明：设O是△ADE外心，则O是PQ中点，PQ是直径．
连接PD、OD、OE，过Q作AC的垂线交BC于点F，连接PE，则四边形PBFQ是梯形，
∵△ABC中是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠C=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=QF，
∵∠DAC与∠DOE分别是同弧DE所对的圆周角与圆心角，且∠DAE=45°，
∴∠DOE=2∠DAC=90°，
∴∠ODE=45°，
∴OD∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴线段OD是梯形PBFQ的中位线，
∴PQ=2OD=BP+QF，
∴BP+CQ=PQ．
分析：连接OD，过Q作AC的垂线，设交BC于F点，则可以证明四边形BPQF是梯形，而OD即半径是中位线．O已经是中点，只要证明OD平行于AB即可，由圆周角定理，两直线平行的判定定理（内错角相等，两直线平行），而OD即半径是中位线，那么可证得．再就是证明CQ=FQ，不难证明△CQF是等腰直角三角形．
点评：本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形的性质、梯形中位线的定理．解决本题的关键是通过添加辅助线，构造梯形PBFQ，在梯形中建立起BQ、CQ、PQ间的联系，利用梯形中位线定理解决．