Question

12．已知，抛物线L：y=x²-2bx-3（b为常数）．
（1）抛物线的顶点坐标为（b，-b²-3）（用含b的代数式表示）；
（2）若抛物线L经过点M（-2，-1）且与y=$\frac{k}{x}$图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L的简图，并求y=$\frac{k}{x}$的函数表达式；
（3）如图2，矩形ABCD的四条边分别平行于坐标轴，AD=1，若抛物线L经过A，C两点，且矩形ABCD在其对称轴的左侧，则对角线AC的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用配方法对函数解析式进行变形得到y=（x-b）²-（b²+3），然后依据函数解析式写出抛物线的顶点坐标即可；
（2）将M（-2，-1）代入抛物线的解析式可求得b的值，然后可得到抛物线的解析式，由抛物线的解析式可画出抛物线的大致图象，将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得抛物线与双曲线的交点坐标，然后将交点坐标代入反比例函数解析式求解即可；
（3）设点A的坐标为（x，x²-2bx-3），则点D的坐标为（x+1，x²-2bx-3），C的坐标为（x+1，x²+（2-2b）x-2b-2
）．然后由抛物线的对称轴为x=b，从而可求得x的取值范围，然后列出DC与x的函数关系，然后依据x的范围可求得DC的取值范围，由AD为定值，依据勾股定理可知当DC取值最小值时，AC有最小值．

解答 解：（1）∵y=x²-2bx-3=x²-2bx+b²-b²-3=（x-b）²-（b²+3），
∴抛物线的顶点的坐标为（b，-b²-3）．
故答案为：（b，-b²-3）．

（2）将M（-2，-1）代入抛物线的解析式得：4+4b-3=-1，解得：b=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=x²+x-3．
抛物线L的大致图象如图1所示：

将y=3代入y=x²+x-3得：x²+x-3=3，解得：x=2或x=-3．
∴抛物线与反比例函数图象的交点坐标为（2，3）或（-3，3）．
将（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6，
∴y=$\frac{6}{x}$．
将（-3，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=-9，
∴y=-$\frac{9}{x}$．

（3）设点A的坐标为（x，x²-2bx-3），则点D的坐标为（x+1，x²-2bx-3），C的坐标为（x+1，x²+（2-2b）x-2b-2
）．

∴DC=（x²-2bx-3）-[x²+（2-2b）x-2b-2]=-2x+2b-1．
∴DC的长随x的增大而减小．
∵矩形ABCD在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x=b，
∴x≤b-1．
∴当x=b-1时，DC的长有最小值，DC的最小值=-2（b-1）+2b-1=1．
∵AD的长度不变，
∴当DC最小时，AC有最小值．
∴AC的最小值=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求反比例函数、二次函数的解析式，找出AC的长取得最小值的条件是解题的关键．