Question

11．如图1，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到△BC′D′．
①当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E．求证：AE=BD′；
②连接DD′，如图3所示，当△DBD′与△ACB相似时，直接写出α的度数．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形等边对等角性质先求∠B度数，再用三角形外角性质就可以求解；
（2）利用旋转的性质得到AC=BC=BC′，BC=BC′，通过计算得到相等的角，就可以得到△C′BD′≌△CAE，即可得证；
（3）当△DBD′与△ACB相似时，可以得到对应角相等，利用角度进行计算可以得到α的度数，要注意在取值范围内有两种情况．

解答 解：（1）∵AC=BC，∠A=30°
∴∠CBA=∠CAB=30°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BCD=∠ADC-∠CBA=15°，
（2）①由旋转可知CB=C′B=AC，∠C′BD′=∠CBD=∠A
∴∠CC′B=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠CEB=∠CC′B-∠CBA=45°，
∴∠ACE=∠CEB-∠A=15°，
∴∠BC′D=∠ACE，
在△AEC与△BD′C中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D′BC′}\\{AE=BD′}\\{∠ACE=∠BC′D′}\end{array}\right.$
∴△C′BD′≌△CAE
∴AE=BD′．
（3）∵△DBD′与△ACB相似
∴∠BDD′=∠DD′B=∠A=30°，
∴∠DBD′=120°，
∴∠α=∠DBD′=120°（ 如图一）



或∠α=360°-∠DBD′=360°-120°=240°．（如图二）
故α的度数为120°或240°．

点评 本题考查了等腰三角形、三角形内角和、相似三角形及旋转的性质，解题的关键要抓住旋转后图形的对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．