考点:相似三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理
专题:
分析:(1)连接BD,利用直角三角形求出∠ADE=∠ABD,再利用
=,得出∠DAF=∠ABD,∠DAF=∠ADE,即可得出结论AF=DF.
(2)连接OD,可得OD⊥AC,由已知得出AM,OM的长,由△DEO≌△AMO得出OE的长,即可得到AE的长,由△AEF∽△AMO,利用比例式求出AF的长.
解答:(1)证明:如图1,连接BD,
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠ADE+∠DAB=90°,∠DAE+∠ABD=90°,
∴∠ADE=∠ABD,
∵弧AD=弧DC,
∴∠DAF=∠ABD,
∵∠ABD=∠C,
∴∠DAF=∠ADE,
∴AF=DF;
(2)解:如图2,连接OD,交AC于点M,
∵
=,
∴OD⊥AC,
∵AB=10,AC=6,
∴AM=3,OM=
=
=4,
在△DEO和△AMO中,
,
∴△DEO≌△AMO(AAS)
∴OE=OM=4,
∴AE=5-4=1,
∵∠DEA=∠OMA=90°,
∴△AEF∽△AMO,
∴
=,即
=
,
∴AF=
.
点评:本题考查了圆周角定理,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的判定的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,注意:在同圆中,等弧所对的圆周角相等,题目比较好,但是有一定的难度.