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精英家教网如图所示,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km处和54 km处,某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号,在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km).
分析:(1)由于三角形不一定为直角三角形,所以选择在两个三角形中用余弦定理来建立等式解答;
(2)作PD⊥a,构造直角三角形,利用解直角三角形的知识解答.
解答:解:(1)∵PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km)
∴PB=(x-12)km,PC=(18+x)km
在△PAB中,AB=20 km,cos∠PAB=
PA2+AB2-PB2
2PA•AB
=cos∠
x2+202-(x-12)2
2x•20
=
3x+32
5x

同理,在△PAC中,cos∠PAC=
72-x
3x

∵cos∠PAB=cos∠PAC
3x+32
5x
=
72-x
3x
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∴x=
132
7
(km);

(2)作PD⊥a,垂足为D
在Rt△PDA中,PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x•
3x+32
5x
=
132
7
+32
5
≈17.71(km)
答:静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
点评:解答此题,在非直角三角形中可以选择用余弦定理解答.勾股定理可以认为是当夹角为90°时的余弦定理.
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