Question

某县种植了一种无公害蔬菜，为了扩大生产规模，该县决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植-亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低．经调查，种植亩数y（亩）、每亩蔬菜的收益z（元）与补贴数额x（元）之间的关系如下表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（亩）	800	1600	2400	3200	…
z（元）	3000	2700	2400	2100	…

（1）分别求出政府补贴政策实施后种植亩数y、每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（2）要使全县这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少并求出总收益w的最大值和此时种植亩数；
（3）在取得最大收益的情况下，为了满足市场需求，用不超过70亩的土地对这种蔬菜进行反季节的种植．为此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每亩的费用为650元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（亩）的平方成正比例，比例系数为25．这样，修建大棚后的这部分土地每亩的平均收益比没修前增加了2000元，在扣除修建费后总共增加了85000元．求修建了多少亩蔬菜大棚．（结果精确到个位，参考数据：1.414）

Answer 1

解：（1）由表格知，y与x，z与x均成一次函数关系．
设y=kx+a，将（0，800）、（100，1600）代入：，
解得，
∴y=8x+800，
设z=k₁x+b，
将（0，3000）、（100，2700）代入：，
解得．
∴z=-3x+3000；

（2）w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24（x-450）²+7260000
∴当x=450时w取得最大值7260000，y=8×450+800=4400，
答：政府每亩补贴450元可获得最大总收益7260000元，此时种植4400亩；

（3）设修建了m亩蔬菜大棚，原来每亩的平均收益为=1650元，
由题意得方程：（1650+2000）m-650m-25m²=85000，
解得m₁=60+10≈74，m₂=60-10≈46，
∵0＜m≤70，
∴m≈46．
答：修建了46亩蔬菜大棚．
分析：（1）结合表格设函数解析式，把已知坐标代入解析式求解即可；
（2）由1可知函数解析式，用配方法解出最大值即可；
（3）设修建了m亩蔬菜大棚，列方程解出m值．
点评：本题考查的是二次函数的应用，解决此类题的关键要运用好题目所给出的坐标求出解析式．