Question

如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为点E，且⊙O的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于（　　）

A．1

B．2

C．1.5

D．4

Answer 1

分析：如图，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为N，M，然后连接OC，OB，根据已知条件就可以得到四边形OMEN是矩形，然后利用勾股定理可以得到OB²-BN²=ON²，OC²-CM²=OM²，同时根据垂径定理知道BN=

1

2

AB，CM=

1

2

CD，又OE²=ON²+MO²，最后利用已知条件即可求出OE的长度．

解答：解：如图，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为N，M，然后连接OC，OB，
∵AB⊥CD，
∴四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OM=EN，
在Rt△COM中，OC²-CM²=OM²，
在Rt△BON中，OB²-BN²=ON²，
而BN=

1

2

AB，CM=

1

2

CD，
又OE²=ON²+MO²，
∴OE²=ON²+MO²=OC²-CM²+OB²-BN²=2OB²-

1

4

（AB²+CD²），
又∵⊙O的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，
∴OE²=8-7=1，
∴OE=1．

点评：此题综合考查了垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是多次利用勾股定理得到所求线段的表达式解决问题．