Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+x+m．

（1）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB和二次函数图象的解析式；

（2）在线段AB上有一动点P（不与A，B两点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点D，是否存在一点P使线段PD的长有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+6，y＝﹣x2+x+6；（2）存在P（，3）

【解析】

（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+x+m得到﹣9+3+m＝0，求出m得到抛物线解析式和B点坐标，然后根据待定系数法求直线AB的解析式；

（2）设P（x，﹣2x+6），则D（x，﹣x2+x+6），那么PD＝（﹣x2+x+6）﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可得到结论．

解：（1）∵点A（3，0）在抛物线y＝﹣x2+x+m上，

∴﹣9+3+m＝0，

∴m＝6，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，且B（0，6），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将A（3，0），B（0，6）代入y＝kx+b中，得，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6；

（3）设P（x，﹣2x+6），则D（x，﹣x2+x+6），

∴PD＝（﹣x2+x+6）﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＝时，线段PD的长有最大值为，

当x＝时，y＝﹣2x+6＝3，

∴P（，3）．